Скалярная функция может быть четырехмерной, т.к. термин "многомерный" применительно к функции имеет смысл размерности ее аргумента, при этом скаляр - значение функции.
Не очень понимаю, что ты называешь аналогией площади, которая "физически" есть в четырехмерном пространстве. Наше четырехмерное пространство-время не евклидово, а псевдоевклидово, поэтому добавление четвертой координаты - времени - не дает возможности обобщить _пространственные_ понятия длины, площади и объема, которые суть евклидовы меры областей соответствующей размерности.
В четырех-(и более)мерном евклидовом пространстве такая мера называется тоже объемом и формально определяется тем же способом, а едят ее - уж с чем потребуется математику. Пример - у тебя есть пространство признаков, допустим, четыре оси соционики.
Полученное пространство - четырехмерно, и, предположим, у тебя есть выборка результатов опроса равного количества женщин и мужчин. Прикинув, какой "объем" занимает каждая из областей в четырехмерном пространстве, ты можешь делать выводы о том, данные для кого представлены более компактно, и так далее.
Четырехмерный скаляр не может быть площадью и т.д., так как площадь - это одно-единственное число, а четырехмерный скаляр - функция, определенная в некоторой области четырехмерного пространства.