Matrix, я тебя что-то не пойму. При чем тут скалярное произведение? Оно, собственно, называется скалярным потому, что результатом этого произведения является скаляр, то есть, число. Так что твоя ирония достигает несколько иной цели.
penartur, про обобщение объема я писал, а не Галерион. Естественно, определить можно, даром, что ли, пространство метрическое.
Но первоначальный вопрос Matrix был про "физический смысл" 4-объема по сравнению с пространственными длиной, площадью и объемом, на что я и написал, что пространство-время несколько отличается от четырехмерного евклидова пространства, и ожидать физического смысла от него (обобщения объема) - затруднительно.