Согласна, тут есть неувязка и очень сильная, в принципе неувязок вообще полно, взять хотя бы ключик от сейфа в котором деньги лежат, то он у Хагрида, то у мамы Рона, и все кто не лень туда ходють и берут денюжки для Гарри, а банковские служащие, то бишь гоблины (эк она прошлась

) благоcкслонно на это смотрят..
Насчет госконтроля

Система образования всегда будет находится и сейчас находится под контролем государства. Государство по любому будет решать какие предметы являются обязательными для изучения в школах, а какие школьники мошут сами выбирать учить их или нет. И инспекционные проверки на предмет как и чему учат детей в частных школах тоже будет проводить государство, в нашем случае - Министерство магии. Мало того если учителя школы проверкой заподозрены в чем-то непотребном, то же государство имеет право ввести временную администрацию, до исправления ситуации. Собственника или собственников предупредят конечно, что у них большие проблемы, и здорово попеняют. Я точно не уверена, но мне кажется если проблемы серьезные то же государство имеет право закрыть школу.
И насчет оплаты. Школа конечно может быть государственная. Но все дело в том что она, судя по всему элитная школа, а элитное априори не может быть бесплатным.
Уж кто, а Роулинг это знает